domingo, 21 de junio de 2009

Teorema de Pitágoras

Este Teorema fundamental de Pitágoras, nos plantea que la suma de los cuadrados de los catetos en un triángulo rectángulo, es igual al cuadrado de su hipotenusa.

Los griegos no manejaban el álgebra y para ellos era una cuestión geométrica. Siguiendo esa linea lo que dice el teorema de Pitagoras es que la suma de las áreas de los cuadrados a y b es igual al área del cuadrado h, como se muestra en la siguiente figura .

A continuación, la demostración geométrica de este teorema.


Como se puede ver se trata de rotar el triángulo rectángulo original y formar con el dos cuadrados. Uno exterior de lado (a+b) y otro interior de lado h2. Sabemos que este cuadrado interior es realmente cuadrado porque dado que el triángulo original es rectángulo la suma de los otros dos ángulos siempre es de 90º dejando los cuatro ángulos del cuadrado también de 90º.

Una vez realizada la operación de rotación la comprobación es sencilla. Tenemos dos formas de calcular el área total de la figura:

  1. A partir de sus lados: (a+b)(a+b) = (a+b)2
  2. Sumando 4 triángulos y un cuadrado interno: 4(ba/2) + h2

Si igualamos ambas expresiones y simplificamos:

(a+b)2 = 4(ba/2) + h2
a2 + 2ab + b2 = 2ba + h2

Y finalizamos eliminando el termino 2ab de ambos lados de la ecuación:

a2 + b2 = h2




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